Dernière modification: 29/02/2024
Introduction
Une distribution de probabilité continue est indiquée par f(x) et est généralement appelée fonction de densité de probabilité (PDF). Elle est exprimée par une équation et peut être représentée comme dans la figure 1. La courbe en cloche n’est qu’un exemple de PDF possible.
La principale propriété d’une PDF est la suivante :
La probabilité que x prenne des valeurs comprises entre a et b est évaluée comme l’intégrale suivante de la fonction de densité de probabilité :
Cette probabilité est illustrée dans la figure 2.
La fonction de densité de probabilité est également appelée densité de défaillance ou répartition de la durée de vie.
La distribution d’une variable continue peut également être décrite par la fonction de distribution cumulative. Elle donne la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à x. Son expression est :
Pour < x <.
F(x) est une fonction non décroissante : F(-∞) = 0 et F(+∞) = 1 , ainsi :
La dérivée de la fonction de distribution cumulative est la fonction de densité de probabilité (ou densité de défaillance) de la variable aléatoire. X:
La relation entre la fonction de distribution cumulative F(x) et la fonction de densité de probabilité f(x) est présentée à la figure 3.
Ces définitions de F(x) permettent d’exprimer P( a ≤ X ≤ b ) comme suit :
Puisque nous raisonnons en termes de temps et que le temps est une variable aléatoire positive, la fonction de distribution cumulative peut être écrite de la manière suivante :
Et
La fonction de fiabilité R(t)
R(t) est la probabilité qu’aucune défaillance de l’article ne se produise dans l’intervalle (0 t).
En d’autres termes, R(t) est la probabilité qu’un article fonctionne « sans défaillance » dans l’intervalle de temps (0, t), tandis que la défaillance se produira dans (t, +∞). Connaissant la fonction de densité de probabilité f(x), nous avons :
Si le système ne peut être trouvé que dans deux états, soit un fonctionnement correct, soit une défaillance, nous pouvons définir la fonction de non-fiabilité F(t) comme complémentaire de R(t), c’est-à-dire :
La fonction de densité f(t) peut maintenant être exprimée comme suit :
